“鸡兔同笼”问题小朋友们都有听说过吗？这是一类著名的数学问题。

比如：“鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中各有多少只鸡兔？”鸡兔同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数装化为一个未知数，从而解出答案。

 

典型例题

例【1】

鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只？

分析 题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。所以鸡有17只，兔子有28只。当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。

解法一 假设全是兔子。

（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡 45－17＝28（只）——兔 解法二 假设全是鸡。

（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔 45－28＝17（只）——鸡 答：鸡有17只，兔子有28只。

 

例【2】

盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？

分析 假设全部都是大钢珠，则共重：11×30＝330（克）；

比原来的克数重：330－266＝64（克）；

小钢珠的个数是：64÷（11－7）＝16（个） 大钢珠的个数是：30－16＝14（个）

同样，也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。

解法一 假设全是大钢珠。

（30×11－266）÷（11－7）＝16（个）——小钢珠 30－16＝14（个）——大钢珠 解法二 假设全是小钢珠。

（266－30×7）÷（11－7）＝14（个）——大钢珠 30－14＝16（个）——小钢珠

 

例【3】

一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

分析 先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。

解 10分一张的邮票的张数有： （2000－1880）÷（20－10）＝12（张） 20分一张的邮票张数有： 100－12＝88（张）

答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。

 


小结

解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、

“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。 概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：

鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）

兔数＝鸡兔总数－鸡数

 

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