小学数学趣题|各年级适用(内附答案)
1.钟声
小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟,每敲响一下延时3秒,间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨6点,前后共经过了几秒钟?
2.越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去1个角,还剩几个角?”这种题的最大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
图1
以上3幅示意图,表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣,长方形原有4个角,切去了1个角,反而多了1个角,出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似,看你能否正确回答。
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是立体的“角”,它不同于平面上的角。
3.数一数
如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还不会数数儿!”其实,数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何图形的个数。
4.画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)
图3
5.最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼(如下图)。为了节省每次喂食的时间,他必须走一条最短的路,但又不能漏掉一个貂笼,喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗?并算出每喂食一次,至少要走多少米的路。
6.切西瓜
六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。大家知道,切一刀最多分成2块,切2刀最分成多4块,那么切3刀最多能分成几块?切4刀、切5刀、切6刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完,同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
7.均分承包田
有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。经研究,决定让这3户共同承包这块地,因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这个问题吗?
图5
8.巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏:
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个,请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试,至少要分几次才成?
9.扩大鱼池
养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如下图),喜获丰收。为了进一步增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的称号;②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍;③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗?
10.巧妙的算法(一)
11=1 22=1+3
32=1+3+5 42=1+3+5+7
…… ……
请你仔细观察上面这些算式,试着找出某种规律,并利用
这个规律迅速算出下面式子的答案:
(1)1+3+5+7+9+11+13+15
(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39
11.巧妙的算法(二)
13+23=9 (1+2)2=9
13+23+33=36 (1+2+3)2=36
…… ……
请你仔细观察上面两组算式,找出规律,并迅速算出下面算式的答案:
(1)13+23+33+43+53+63+73+83+93+103
(2)13+23+33+……+203
12.哪个分数大?
13.想办法巧算
14.从1到100万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。
传说他在十岁的时候,老师出了一个题目:1+2+3+……+99+100的和是多少?
老师刚把题目说完,小高斯就算出了答案:这100个数的和是5050。
原来,小高斯是这样算的:依次把这100个数的头和尾都加起来,即1+100,2+99,3+98,……,50+51,共50对,每对都是101,总和就是101×50=5050。
现在请你算一道题:从1到1000000这100万个数的数字之和是多少?
注意:这里说的“100万个数的数字之和”,不是“这100万个数之和”。例如,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法,会对你算这道题有启发。
15.求数列的和
你能用巧妙的方法,求出下列算式的结果吗?注意,高斯求和的方法在这里用不上。
16.不必大乘大除
下面这道计算题,按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点,采用巧算,则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔,用脑子想一想,就得出答案,行吗?(限10秒钟)
17.猜猜是几?
一个三位数,写在一张纸上,倒过来看是正着看的1.5倍,正着看是倒
18.完全数
如果整数a能被b整除,那么b就叫做a的一个因数。例如,1、2、3、4、6都是12的因数。有一种数,它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和,这种数叫做完全数。例如,6就是最小的一个完全数,因为除6以外的6的因数是1、2、3,而6=1+2+3。
你能在20至30之间找出第二个完全数吗?
19.有这样的数吗?
小明异想天开地提出:“世界上应该存在这样两个数,它们的积与它们的差相等。”他的话音刚落,就引起了同学们的哄堂大笑,大家都觉得这是不可能的。但是,世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法,后来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗?告诉你,这样的数还不止一对呢!
20.两数的积与两数的和能相等吗?
数学课上,小明偶然发现2×2=2+2。下课后,小明问王老师:“2×2=2+2,这样两数的积等于两数的和的情况,还有吗?”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说:“你能在数学学习中敏锐地发现问题,提出问题,这是很宝贵的,希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现象,
这三个数的和,四个数的积等于这四个数的和,五个数的积等于这五个数的和。这些现象近似于数学游戏,有兴趣,你回去仔细想想,一定会找到答案的。明天我们一起交换看法好吗?”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们,你们能找出这样的数吗?
21.老路行不通
五年级的时候,我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答,需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识,仍然是最基本的:如果几个三角形的底和高都相等,那么它们的面积也相等。
图7
已知:在△ABC中,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG。
求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几?
22.关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识,掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许多组合面积的计算,单靠这些知识是远远不够的,它更需要对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看,你能很快做出来吗?
已知图内各圆相切,小圆半径为1,求阴影部分的面积。
23.一筐苹果
入冬前,妈妈买来了一筐苹果。清理时,发现这筐苹果2个、2个地数,余1个;3个、3个地数,余2个;4个、4个地数,余3个;5个、5个地数,余4个;6个、6个地数,余5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗?
24.怎样分?
有44枚棋子,要分装在10个小盒中,要求每个小盒中的棋子数互不相同,应该怎样分?
25.不要急于动手
下图是一个正方形,被分成6横行,6纵列。在每个方格中,可任意填入1、2、3中的一个数字,但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同,这可能吗?为什么?
图9
26.数字小魔术
新年联欢会上,同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说:“我给你们表演一个数字魔术吧!”说完,王老师拿出一叠纸条,发给每人一张,并神秘地说:“由于我教你们数学,所以你们脑子里的数也听我的话。不信,你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数(不重复写),我保证能从你们写的4个数中,找出两个数,它们的差能被3整除。”
王老师的话音一落,同学们就活跃起来。有的同学还说:“我写的数最调皮,就不听王老师的话。”不一会儿,同学们都把数写好了,但是当同学们一个个念起自己写的4个数时,奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话,竟没有一个同学写的数例外,都让王老师找出了差能被3整除的两个数。
同学们,你们知道王老师数字小魔术的秘密吗?
27.应该怎样称?
有9个外观完全相同的小球,其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称,问你至少称几次,才能找出较轻的球?
如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球,你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗?这里有规律吗?
28.最少拿几次?
晚饭后,爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前,爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说:“小红,爸爸给你出道跳棋子的题,看你会不会做?”小红毫不犹豫地说:“行,您出吧?”“好,你听着:这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个,你闭着眼睛往外拿,每次只能拿1个棋子,问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的?”
听完题后,小红陷入了沉思。同学们,你们会做这道题吗?
29.巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛,花坛竣工时,大队部在花坛旁挂出一块小黑板,上面写着:
“各中队少先队员:
花坛修好了,同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题,就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬,要求每边都是7盆,应该怎样摆?
② 还要在这个花坛四周摆上24盆串红,要求每边也是7盆,应该怎样摆?”
同学们,你会摆吗?请你试试看。
30.填数(一)
请你把1~8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里,使每个面的4个角上的数之和都相等。
31.算算这笔账
小明哥哥的个体商店里,同时放着甲、乙两种收录机,售价都是990元。但是甲种收录机是紧俏商品,赚了10%;乙种收录机是滞销品,赔了10%。假如今天两种收录机各售出一台,小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了?若赚了,则赚了多少?若赔了,则赔了多少?你会算这笔账吗?
32.“达标”的人数
优秀的学生占全校学生总数的百分之几?
33.谁得优秀?
六年级同学毕业前,凡报考重点中学的同学,都要参加体育加试。加试后,甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩:
甲说:“如果我得优,那么乙也得优。”
乙说:“如果我得优,那么丙也得优。”
丙说:“如果我得优,那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话,但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀?
34.排名次
学校举办排球比赛,进入决赛的是五(1)班、五(2)班、六(1)班、六(2)班的代表队,到底谁得第一,谁得第二,谁得第三,谁得第四呢?
甲、乙、丙三人做如下的猜测:
甲说:“五(1)班第一,五(2)班第二。”
乙说:“六(1)班第二,六(2)班第四。”
丙说:“六(2)班第三,五(1)班第二。”
比赛结束后,发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对,但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出1~4名的名次吗?
35.要赛多少盘?
六年级举行中国象棋比赛,共有12人报名参加比赛。根据比赛规则,每个人都要与其他人各赛一盘,那么这次象棋比赛一共要赛多少盘?
1.钟声
小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟,每敲响一下延时3秒,间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨6点,前后共经过了几秒钟?
分析与解 从第一下钟声响起,到敲响第6下共有5个“延时”、 5个“间隔”,共计(3+1)×5=20秒。当第6下敲响后,小明要判断是否清晨6点,他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响,才能判断出确是清晨6点。因此,答案应是:
(3+1)×6=24(秒)。
2.越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去1个角,还剩几个角?”这种题的最大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
以下3幅示意图,表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣,长方形原有4个角,切去了1个角,反而多了1个角,出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似,看你能否正确回答。
图13
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是立体的“角”,它不同于平面上的角。
分析与解 锯掉角的情况有4种,因此剩角的答案也有4种(如14图所示)。
图14
3.数一数
如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还不会数数儿!”其实,数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何图形的个数。
图15
分析与解 图(1)中:边长1个单位的三角形有12个;边长2个单位的三角形有6个,边长3个单位的三角形有2个。
一共有三角形20个。
图(2)中:先按公式,计算出边长8个单位的大正方形中,共有(12+22+32+42+52+62+72+82)=204个正方形;然后再分别计算左、右两侧各多出的一部分构成13×2=26个正方形;最后计算出共有大、小不同的正方形 204+26=230个。
图(3)中:共有长方形(1+2+3+ 4+5)×(1+2+3+4)= 15×10=150(个)。
图(4)中:共有梯形(1+2+3+4+5)×(1+2+3)=15×6=90(个)。
4.画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)
图16
分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画?另一个是,若能一笔画,应该怎样画?对于这两个问题,数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后,做了相当出色的回答。他指出,如果一幅图是由点和线连接组成,那么与奇数条线相连的点叫“奇点”;与偶数条线相连的点叫“偶点”。
例如,在图17中,B为奇点,A和C为偶点。
图17
如果一幅图的奇点的个数是0或是2,这幅图可以一笔画,否则不能一笔画。这是对第一个问题的回答。欧拉又告诉我们,如果一幅图中的点全是偶点,那么,你可以从任意一个点开始画,最后还回到这一点;如果图中只有两个奇点,那么必须从一个奇点开始画,并结束于另一个奇点。
本题的4幅图,其中图(1)、(4)各有两个奇点,图(2)、(3)的奇点个数为0。因此这4幅图都可一笔画。画法请参看图
图18
5.最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼(如下图)。
为了节省每次喂食的时间,他必须走一条最短的路,但又不能漏掉一个貂笼,喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗?并算出每喂食一次,至少要走多少米的路。
分析与解 要给9个貂笼的貂分别喂食,最短的路线不止一条。我们只给出其中的一种如图20所示。
我们选择这条路线的根据是:(1)尽量多走3米长的貂笼间隔,少走4米长的貂笼间隔;(2)根据勾股定理,第⑨步走斜边(长5米,这是因为52=32+42)比走两条直角边(3+4=7米)要少走2米。
他每喂食一次,至少要走
3×5+4×3+5=32(米)。
图20
6.切西瓜
六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。大家知道,切一刀最多分成2块,切2刀最多分成4块,那么切3刀最多能分成几块?切4刀、切5刀、切6刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完,同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解 分割圆时,切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律:
切n刀时,最多可分成:(1+1+2+3+……+n)块。
21所示。
图21
7.均分承包田
有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。经研究,决定让这3户共同承包这块地,因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这个问题吗?
图22
分析与解 分法如图23所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点,分别与水井连接,这样就把这块菜地分成符合题意的3块了。
图23
8.巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏:
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个,请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试,至少要分几次才成?
分析与解 至少分9次。这种题,一般统称为分液问题。解答时,最好用列表的方法。本题解答方法,如下表所示(这不是唯一的方法):
9.扩大鱼池
养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如图24),喜获丰收。为了进一步增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的称号;②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍;③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗?
分析与解 草图如图25所示。
10. 巧妙的算法(一)
11=1 22=1+3
32=1+3+5 42=1+3+5+7
…… ……
请你仔细观察上面这些算式,试着找出某种规律,并利用这个规律迅速算出下面式子的答案:
(1)1+3+5+7+9+11+13+15
(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25
+27+29+31+33+35+37+39
分析与解 由已知的算式
12=1
22=1+3
32=1+3+5
42=1+3+5+7
我们不难看出:
因此,(1)的答案为8(项数)的平方,即64;(2)的答案为20(项数)的平方,即 400。
我们只要过三角形的三个顶点,分别作它们所对的边的平行线,两两相交,成一个大三角形,这个大三角形的面积是原三角形面积的4倍。
11.巧妙的算法(二)
13+23 =9 (1+2)2=9
13+23+33 =36 (1+2+3)2=36
…… ……
请你仔细观察上面两组算式,找出规律并迅速算出下面算式的答案:
(1)13+23+33+43+53+63+73+83+93+103
(2)13+23+33+……+203
分析与解 求几个数的立方和,一般总是先求出各数的立方再相加。但对于从1 开始的若干个连续自然数的立方和,我们可以从题中的两组算式得到启发,找出规律,迅速算出它的答案:
(1)13+23+33+……+103
=(1+2+3+……+10)2=552=3025;
(2)13+23+33+……+203
=(1+2+3+……+20)2=2102=44100
用数学归纳法可以证明:
13+23+33+……+(n-1)3+n3
=[1+2+3+……+(n-1)+n]2
12.哪个分数大?
分析与解
的倒数3小。就普遍的情况而言,一个分数的倒数大,这个分数反而小。这样,要比较这三个分数的大小,只要比较它们的倒数就可以了。
13.想办法巧算
分析与解 计算这道题要是先通分再加,那实在是太困难了。我们可以把这样的分数拆开。
14.从1到100万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。
传说他在十岁的时候,老师出了一个题目:1+2+3+……+99+10O的和是多少?
老师刚把题目说完,小高斯就算出了答案:这100个数的和是5050。
原来,小高斯是这样算的:依次把这100个数的头和尾都加起来,即 1+100,2+99,3+98,……,50+51,共50对,每对都是 101,总和就是 101×50=5050。
现在请你算一道题:从1到1000000这100万个数的数字之和是多少?
注意:这里说的“100万个数的数字之和”,不是“这100万个数之和”。例如,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法,会对你算这道题有启发。
分析与解 可以在这100万个数前面加一个“0”,再把这些数两两分组:
依此类推,一共可分为50万组,最后剩下1000000这个数不成对。
各组数的数字之和都是9+9+9+9+9+9=54,最后的1000000数字之和是1。
所以这100万个数的数字之和为:
15.求数列的和
你能用巧妙的方法,求出下列算式的结果吗?注意,高斯求和的方法在这里用不上。
分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第13题类似,要根据每个数列中各个数的特点,进行“拆分”,使拆分成的新数列的中间部分互相抵消,从而达到“巧”算的目的。
16.不必大乘大除 下面这道计算题,按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点,采用巧算,则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔,用脑子想一想,就得出答案,行吗?(限10秒钟)
分析与解 根据分母的数字特点,可用如下方法计算: |
17.猜猜是几?
一个三位数,写在一张纸上,倒过来看是正着看的1.5倍,正着看是倒
分析与解 这个三位数是666。其实,只要你稍加思索,就可以想出来了。这道题如果要求找一个一位数,那就是6;找一个两位数,则是66;找一个四位数,则是6666,……,依此类推。
18.完全数
如果整数a能被b整除,那么b就叫做a的一个因数。例如,1、2、3、4、6都是12的因数。有一种数,它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和,这种数叫做完全数。例如,6就是最小的一个完全数,因为除6以外的6的因数是1、2、3,而6=1+2+3。
你能在20至30之间找出第二个完全数吗?
分析与解 20至30之间的完全数是28。因为除28以外的28的因数是1、2、4、7、14,而28=1+2+4+7+14。
寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究,到目前为止,一共找到了23个完全数。第三、四个完全数是:
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
奇怪的是,已发现的23个完全数是偶数,会不会有奇完全数存在呢?至今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。
19.有这样的数吗?
小明异想天开地提出:“世界上应该存在这样两个数,它们的积与它们的差相等。”他的话音刚落,就引起了同学们的哄堂大笑,大家都觉得这是不可能的。但是,世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法,后来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗?告诉你,这样的数还不止一对呢!
分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例:
同学们,你可再试着找一些。
20.两数的积与两数的和能相等吗?
数学课上,小明偶然发现2×2=2+2。下课后,小明问王老师:“2×2=2+2,这样两数的积等于两数的和的情况,还有吗?”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说:“你能在数学学习中敏锐地发现问题,提出问题,这是很宝贵的,希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现象,
这三个数的和,四个数的积等于这四个数的和,五个数的积等于这五个数的和。这些现象近似于数学游戏,有兴趣,你回去仔细想想,一定会找到答案的。明天我们一起交换看法好吗?”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们,你们能找出这样的数吗?
分析与解 下面是部分例子。
两数积=两数和:
11×1.1=11+1.1
……
三数积=三数和:
1×2×3=1+2+3
四数积=四数和:
1×1×2×4=1+1+2+4
五数积=五数和:
1×1×1×2×5=1+1+1+2+5
1×1×1×3×3=1+1+1+3+3
1×1×2×2×2=1+1+2+2+2
其中,有关两数积=两数和的例子,可以找出无数组,请再找出一些。
21.老路行不通
五年级的时候,我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答,需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识,仍然是最基本的:如果几个三角形的底和高都相等,那么它们的面积也相等。
图7
已知:在△ABC中,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG。
求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几?
分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实,只需要一些小学最基本的数学知识就可以解答了。
22.关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识,掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许多组合面积的计算,单靠这些知识是远远不够的,它更需要对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看,你能很快做出来吗?
已知图内各圆相切,小圆半径为1,求阴影部分的面积。
分析与解 按一般的解题规律,要求面积,首先得确定所求的是什么图形,或是由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形,却是个不规则的图形。但仔细观察,就能发现阴影部分是由两部分组成的:下面是一个小
可得到以下解法:
23.一筐苹果
入冬前,妈妈买来了一筐苹果,清理时,发现这筐苹果2个、2个地数,余1个;3个、3个地数,余2个;4个、4个地数,余3个;5个、5个地数,余4个;6个、6个地数,余5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗?
分析与解 根据题目条件,可以知道,这筐苹果的个数加1,就恰好是2、3、4、5、6的公倍数。而题目要求“至少有多少个”,所以,苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最小公倍数减去1。
[2,3,4,5,6]=60
60-1=59
即这筐苹果至少有59个。
24.怎样分?
有44枚棋子,要分装在1O个小盒中,要求每个小盒中的棋子数互不相同,应该怎样分?
分析与解 无法分。
25.不要急于动手
左图是一个正方形,被分成6横行,6纵列。在每个方格中,可任意填入1、2、3中的一个数字,但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同,这可能吗?为什么?
分析与解 不可能。
这是因为每行、每列和两条对角线都是由6个方格组成的,那么数字之和最小是1×6=6,数字之和最大是3×6=18。要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同,只能出现6、7、8、9、……、17、18这13种数字和,但实际却需要6(行)+6(列)+2(对角线)=14种不同的数字和。
由此可知,要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。
26.数字小魔术
新年联欢会上,同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说:“我给你们表演一个数字魔术吧!”说完,王老师拿出一叠纸条,发给每人一张,并神秘地说:“由于我教你们数学,所以你们脑子里的数也听我的话。不信,你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数(不重复写),我保证能从你们写的4个数中,找出两个数,它们的差能被3整除。”
王老师的话音一落,同学们就活跃起来。有的同学还说:“我写的数最调皮,就不听王老师的话。”不一会儿,同学们都把数写好了,但是当同学们一个个念起自己写的4个数时,奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话,竟没有一个同学写的数例外,都让王老师找出了差能被3整除的两个数。
同学们,你们知道王老师数字小魔术的秘密吗?
分析与解 其实,同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话,而是听数学规律的话。
因为任意一个自然数被3除,余数只能有3种可能,即余0、余1、余2。如果把自然数按被3除后的余数分类,只能分为3类,而王老师让同学们在纸条上写的却是4个数,那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减(以大减小)所得的差,当然能被3整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以,只要我们刻苦学习数学,掌握规律,也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
27.应该怎样称?
有9个外观完全相同的小球,其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称,问你至少称几次,才能找出较轻的球?
如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球,你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗?这里有规律吗?
分析与解 9个球,至少称两次就可以找到那个较轻的球。
第一次:天平两侧各放3个球。
如果天平平衡,说明较轻的球在下面;如果不平衡,那么抬起一侧的3个球中必有轻球。
第二次:从含有轻球的3个球中任选两个,分别放在天平两侧。如果平衡,下面的球是轻的;如果不平衡,抬起一侧的球是轻的。
如果是27个球,至少需要称3次。
第一次:天平两侧各放9个球。
如果平衡,说明轻球在下面9个中;如果不平衡,抬起一侧的9个球中含有轻球。
第二次、第三次与前面所说9个球的称法相同。
在这种用天平确定轻球(或重球)的智力题中,球的总个数与至少称的次数之间的关系是:若3n<球的总个数≤3n+1,则(n+1)即为至少称的次数。
例如,设有25个球,因为32<25<33,所以至少称3次;
设有81个球,因为33<81=34,所以至少称4次。
28.最少拿几次?
晚饭后,爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前,爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说:“小红,爸爸给你出一道跳棋子的题,看你会不会做?”小红毫不犹豫地说:“行,您出吧?”“好,你听着:这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个,你闭着眼睛往外拿,每次只能拿1个棋子,问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的?”
听完题后,小红陷入了沉思。同学们,你们会做这道题吗?
分析与解 至少拿7次,才能保证其中有3个棋子同一颜色。
我们可以这样想:按最坏的情况,小红每次拿出的棋子颜色都不一样,但从第4次开始,将有2个棋子是同一颜色。到第6次,三种颜色的棋子各有2个。当第7次取出棋子时,不管是什么颜色,先取出的6个棋子中必有2个与它同色,即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们,你们能从这道题中发现这类问题的规律吗?如果要求有4个棋子同一颜色,至少要拿几次?如果要求5个棋子的颜色相同呢?
29.巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛,花坛竣工时,大队部在花坛旁挂出一块小黑板,上面写着:
“各中队少先队员:
花坛修好了,同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题,就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬,要求每边都是7盆,应该怎样摆?
② 还要在这个花坛四周摆上24盆串红,要求每边也是7盆,应该怎样摆?”
同学们,你会摆吗?请你试试看。
分析与解 答案如下图:
图29
30.填数(一)
请你把1~8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里,使每个面的4个角上的数之和都相等。
分析与解 做这种填数游戏,有两种方法,一种是“笨”方法,即凑数的方法。分别用这8个数去试,这种方法可行,但很费事。另一种方法是用分析、计算的方法。这道题可以分析、计算如下:
在计算各个面上4个数的和时,顶点上的数总是分属3个不同的面,这样,每个顶点上的数都被重复计算了3次。因此,各个面上4个数的和为1~8这8个数的和的3倍,即(1+2+3+…+8)×3=108。又因为正方体有6个面,也就是每个面上的四个数的和应是108÷6=18。18应是我们填数的标准。
如果在前面上填入1、7、2、8(如图31),那么右侧面上已有2、8,其余两顶点只能填3、5。以此类推,答案如图31所示。
31.算算这笔账
小明哥哥的个体商店里,同时放着甲、乙两种收录机,售价都是990元。但是甲种收录机是紧俏商品,赚了10%;乙种收录机是滞销品,赔了10%。假如今天两种收录机各售出一台,小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了?若赚了,则赚了多少?若赔了,则赔了多少?你会算这笔账吗?
分析与解 赚了10%后是990元,原价是:
990÷(1+10%)=900(元)
赔了10%后是990元,原价是:
990÷(1-10%)=1100(元)
那么两台收录机,原来进价为900+1100=2000元,现在卖了990×2=1980元。
因此,这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台,赔了2000-1980=20元。
32.“达标”的人数
优秀的学生占全校学生总数的百分之几?
33.谁得优秀?
六年级同学毕业前,凡报考重点中学的同学,都要参加体育加试。加试后,甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩:
甲说:“如果我得优,那么乙也得优。”
乙说:“如果我得优,那么丙也得优。”
丙说:“如果我得优,那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话,但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀?
分析与解 我们可以这样想:如果甲得优秀,那么乙、丙、丁都得优秀,这与实际不符;如果乙得优秀,则丙、丁也得优秀,也与实际不符。因此,只能丙、丁得优秀,才符合实际情况。
判断结果是:丙、丁得优秀。
34.排名次
学校举办排球比赛,进入决赛的是五(1)班、五(2)班、六(1)班、六(2)班的代表队,到底谁得第一,谁得第二,谁得第三,谁得第四呢?
甲、乙、丙三人做如下的猜测:
甲说:“五(1)班第一,五(2)班第二。”
乙说:“六(1)班第二,六(2)班第四。”
丙说:“六(2)班第三,五(1)班第二。”
比赛结束后,发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对,但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出1~4名的名次吗?
分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。
35. 要赛多少盘?
六年级举行中国象棋比赛,共有12人报名参加比赛。根据比赛规则,每个人都要与其他人各赛一盘,那么这次象棋比赛一共要赛多少盘?
分析与解 一共要赛66盘。
要想得出正确答案,我们可以从简单的想起,看看有什么规律。
假如2个人(A、B)参赛,那只赛1盘就可以了;假如3个人(A、B、C)参赛,那么A—B、A—C、B—C要赛3盘;假如4个人参赛,要赛6盘,……
于是我们可以发现:
2人参赛,要赛1盘,即1;
3人参赛,要赛3盘,即1+2;
4个参赛,要赛6盘,即1+2+3;
5人参赛,要赛10盘,即1+2+3+4;
……
那么,12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。
我们还可以这样想:
这12个人,每个人都要与另外11个人各赛1盘,共11×12=132(盘),但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次,(如A—B赛一盘,B—A又算了一盘),所以实际一共要赛132÷2=66(盘)。
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