对于离散数学，可能很多人还是第一次听说，那么沪江小编就给大家讲一讲它的知识。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。下面沪江小编为大家整理了离散数学的一些知识点，希望对大家有所帮助。

　　第1章 略

　　第2章 命题逻辑

　　1.→，前键为真，后键为假才为假;<—>，相同为真，不同为假;

　　2.主析取范式：极小项(m)之和;主合取范式：极大项(M)之积;

　　3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反;

　　4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假;

　　5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;

　　6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项;

　　7.n个变元共有个极小项或极大项，这为(0~-1)刚好为化简完后的主析取加主合取;

　　8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式;

　　9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)

　　10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则

　　①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法;

　　第3章 谓词逻辑

　　1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质;

　　多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系;

　　2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;

　　3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词;

　　第4章 集合

　　1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0;

　　2.基：集合A中不同元素的个数，|A|;

　　3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A);

　　4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有个元素，|P(A)|==;

　　5.集合的分划：(等价关系)

　　①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合;

　　②这几个子集相交为空，相并为全(A);

　　6.集合的分划与覆盖的比较：

　　分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中;

　　覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次;

　　第5章 关系

　　1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系;

　　2.若集合A有n个元素，则|A×A|=，A上有个不同的关系;

　　3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性;

　　空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性;

　　全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性;

　　4.前域(domR)：所有元素x组成的集合;

　　后域(ranR)：所有元素y组成的集合;

　　5.自反闭包：r(R)=RU;

　　对称闭包：s(R)=RU;

　　传递闭包：t(R)=RUUU……

　　6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系;

　　7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系;

　　A={|x,y属于A，y盖住x};

　　9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一);

　　极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一);

　　最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一);

　　最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);

　　10.前提：B是A的子集

　　上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一);

　　下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一);

　　上确界：最小的上界(若存在就一定唯一);

　　下确界：最大的下界(若存在就一定唯一);

　　第6章 函数

　　1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系，有种不同的函数;

　　2.在一个有n个元素的集合上，可以有种不同的关系，有种不同的函数，有n!种不同的双射;

　　3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有种不同的单射;

　　4.单射：f:X-Y，对任意,属于X,且≠，若f()≠f();

　　满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应;

　　双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射;

　　5.复合函数：fºg=g(f(x));

　　6.设函数f:A-B，g:B-C，那么

　　①如果f,g都是单射，则fºg也是单射;

　　②如果f,g都是满射，则fºg也是满射;

　　③如果f,g都是双射，则fºg也是双射;

　　④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射;

　　第7章 代数系统

　　1.二元运算：集合A上的二元运算就是到A的映射;

　　2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为==16种;

　　3. 判断二元运算的性质方法：

　　①封闭性：运算表内只有所给元素;

　　②交换律：主对角线两边元素对称相等;

　　③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同;

　　④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同;

　　⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;

　　4.同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射;若f是双射，则称为同构;

　　第8章 群

　　1.广群的性质：封闭性;

　　半群的性质：封闭性，结合律;

　　含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元;

　　群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元;

　　2.群没有零元;

　　3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律;

　　4.循环群中幺元不能是生成元;

　　5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;

　　第10章 格与布尔代数

　　1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;

　　2.格的基本性质：

　　1) 自反性

　　a≤a 对偶: a≥a

　　2) 反对称性

　　a≤b ^ b≥a => a=b

　　对偶:a≥b ^ b≤a => a=b

　　3) 传递性

　　a≤b ^ b≤c => a≤c

　　对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c

　　4) 最大下界描述之一

　　a^b≤a 对偶 avb≥a

　　A^b≤b 对偶 avb≥b

　　5)最大下界描述之二

　　c≤a,c≤b => c≤a^b

　　对偶c≥a,c≥b => c≥avb

　　6) 结合律

　　a^(b^c)=(a^b)^c

　　对偶 av(bvc)=(avb)vc

　　7) 等幂律

　　a^a=a 对偶 ava=a

　　8) 吸收律

　　a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a

　　9) a≤b <=> a^b=a avb=b

　　10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd

　　11) 保序性

　　b≤c => a^b≤a^c avb≤avc

　　12) 分配不等式

　　av(b^c)≤(avb)^(avc)

　　对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)

　　13)模不等式

　　a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c

　　3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc);

　　4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构;

　　5.链格一定是分配格，分配格必定是模格;

　　6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1;(若存在则唯一)

　　全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0;(若存在则唯一)

　　7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格;

　　8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元;

　　9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元;

　　10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格;

　　11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数;

　　第11章 图论

　　1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接;

　　2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联;

　　3.平凡图：只有一个孤立点构成的图;

　　4.简单图：不含平行边和环的图;

　　5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图;

　　有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图;

　　6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边;

　　7.r-正则图：每个节点度数均为r的图;

　　8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍;

　　9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个;

　　10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和;

　　11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路;

　　12.可达：对于图中的两个节点,，若存在连接到的路，则称与相互可达，也称与是连通的;在有向图中，若存在到的路，则称到可达;

　　13.强连通：有向图章任意两节点相互可达;

　　单向连通：图中两节点至少有一个方向可达;

　　弱连通：无向图的连通;(弱连通必定是单向连通)

　　14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集;

　　割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点;

　　15.关联矩阵：M(G)，是与关联的次数，节点为行，边为列;

　　通过上述沪江小编的介绍，相信你对离散数学一定有所了解，其实，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构等等。如果对离散数学有兴趣的小伙伴可以多了解一下相关内容，这些知识还是非常实用的。