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你好，首先这个句子是被动语态，然后还原下主动语态应该是：Sb has asked the vicar to have the tree cut down.这里主语是Sb +谓语 has asked +宾语 the vicar +宾补（补充说明宾语的成分）to have the tree cut down.
如果把这个句子变成被动，那么宾语就变成主语The vicar +谓语has been asked， 原来的宾语补足语现在是补充说明主语了（the vicar) 所以是主语补语啊，在这个被动句子里宾语变主语了，所以就没有宾语了，这样理解了吗？

最后说明下：宾补的逻辑主语是宾语，在主动句中to have the tree cut down 的逻辑主语是the vicar
                   同理可得，变被动后，to have the tree cut down逻辑主语还是the vicar, 但是变成主语，所以主补~