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同学你好啊~

「待ち続けた」的「続けた」这部分，还原成基本形，就是「～続ける」这个接尾词。

同学说的「続け」对应的就是「～続ける」吧，
「続き」对应的是「～続く」。

一般来说，「～続ける」前接的是意志性动词，而「～続く」前接的是非意志性动词。
像同学这里的「待つ」是人可以凭借自己的意志做出来的，这种时候就接「～続ける」，构成「待ち続ける」。

而如果是像「雨が降る」这样的，人没法靠自己的意志把它做出来，它就多接「～続く」，构成「雨が降り続く」。

不过「～続ける」现在也可以接非意志性动词了，虽然语法上不对，但现实使用当中这种用例多了起来，
所以如果同学听到「雨が降り続ける」这种说法，也可以把它当成是正确的哈。

同学如果还有不明白的地方可以在【追问】这告诉助助哈~

祝同学学习愉快啦~