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同学你好。
콧물이 나다 和콧물이 나오다 这两种表达都是存在的；
콧물이 나다 更偏重于出现鼻涕，콧물이 나오다 表达更偏重于鼻涕流出来。
都是常见的表达，可以一起记忆一下。

나다是自动词，常常是跟이/가搭配使用的，比如：화가 나다；
내다是他动词，需要搭配宾语使用，比如：화를 내다；

처방和처방전有意思重合的地方，就是指“写药方的那张纸”，此时可以互换使用。
比如：
처방을 쓰다/ 처방전을 쓰다  开药方
나는 의사가 써 준 처방/처방전을 가지고 약국에 갔다. 我拿着医生写的药方去了药店。

除此之外처방 还有其他意思。如：
1.（解决问题而提出的）方法
일식적인 처방 临时措施
수질 오염을 막기 위한 다양한 처방이 학계에서 논의되고 있다.
为防止水质污染，学术界正在讨论各种对策。

2.（治病的）方法
처방을 바꾸다 换处方
의사의 처벙을 따라야 된다. 要遵循医嘱。

以上两个意思都是처방전没有的。
另外下次如果问题比较多的时候，同学记得分开提问，方便助助尽快解答同学。
祝同学学习愉快。