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同学你好，

済む（すむ）这个单词，有若干个意思。
在这里表示：

済む【すむ】【sumu】①
自动词・五段/一类
1. （事情）结束，完结，完了。（物事が終わる。完了する）。
無事に済む。 /平安了事。

晩御飯が済む：吃完晚饭。

と表示顺接，前接动词原形，表示做完前面的事情后，就做后面的事情。
这里就是：吃完晚饭后，就烧洗澡水。
再比如：
母は受話器を置くと、ため息をついた。/妈妈放下话筒后，叹了一口气。

这边用て型不太自然，因为这个是自动词
如果改为
晩御飯を済ませて、風呂を沸かした
就可以
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