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同学你好，我们分别来看一下这两个词的用法哦~

とうとう①   【副】
终于，到底，终究，结局。（最終的な結果として物事が実現した、あるいは実現しなかったという意を表す。ついに。結局。）
例句：
　 とうとう雨になった。／到底下起雨来了。
　 3時間待ったが、彼はとうとう来なかった。／等了三小时，但他终于没有来。
　 いそがしくて、その映画はとうとう見に行けなかった。／忙得终于没能去看那部电影。
　 とうとう酒で死んだ。／终于死在酒上了。

どんどん ①   【副】

（1）轰隆；咚咚。（太鼓を鳴らす音、銃砲を発射する音を表す語。強く足踏みをしたり物をたたいたりする音。）
　 太鼓をどんどんとたたく／咚咚地打大鼓。
（2）连续不断，接二连三『成』，一个劲儿。（物事や動きの切れ目がなく、次から次へと続く様。）
　 水がどんどん流れる／水哗啦哗啦地不断地流。
　 どんどん議事を進める／议程不断向前进行。
　 意見をどんどん出す／接二连三地发表意见。
　 金をどんどんつかう／一个劲儿地花钱。
　 病状がどんどんわるくなる／病情越来越不好。
　 物価がどんどん上がる／物价不断〔一个劲儿〕地上涨。
（3）顺利，顺当。（物事の調子よくはかどる様。また、ためらわずに物事をすすめる様。）
　 大ぜいでやったので,仕事がどんどんかたづいた／因为好多人做,工作很快就搞完了。
　 どんどん売れる／非常畅销。
（4）旺盛，旺，热火朝天『成』； 茁壮。（勢いよく。盛んだ。）
　 建設がどんどん進んでいる／建设在热火朝天地进行。
　 草木がどんどんのびる／草木茁壮生长。
　 火をどんどんたく／把火生得〔弄得〕旺旺的。

这里加以区别的主要是用法（2）。

所以，我们可以判断这道题选择【とうとう】。
句子意思是：【终于】见到了一直在寻找的小学时代的朋友。

希望以上解答可以帮到同学，若对助助的回复有疑问，请同学在【追问】框中提出哦。
祝同学学习愉快~｡◕‿◕｡