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同学你好！
这几个词之间是存在一些区别的，不能随意替换。
untersuchen：
1. 严密观察或观测某物，从而试图认识其性质、构成、规律性、效果，意思类似“研究，探索”，比如die Beschaffenheit des Bodens, die klimatischen Bedingungen, die gesellschaftlichen Verhältnisse untersuchen 研究土壤的性质、气候条件、社会条件
2. 身体/健康方面的检查，比如einen Patienten nur flüchtig, oberflächlich untersuchen 只对病人进行粗略和肤浅的检查
3. 警方/检察官对案件的调查，比如einen Verkehrsunfall untersuchen调查交通事故
4. 多次检查/复核，仅在此时等于 überprüfen。比如eine Machine, eine Rechnung, ein Alibi, jemandes Papiere, jemandes Angaben kritisch überprüfen严格检查机器、账单、不在场证明、某人的文件、某人的详细资料。

überprüfen：
除了untersuchen中提到的第四点之外，还可以表示“重新考虑”

prüfen：
1. 表示检查，侧重检查机器/设备的质量，功能，比如die Bauweise von Haushaltsgeräten, das Material prüfen，检查家用电器的结构、材料
2. 检查一个事实、一份文件的正确性、可接受性，比如 eine Urkunde, einen Antrag prüfen审查证书、申请
3. 探明属性、状况，比如die Temperatur des Wassers [mit dem Finger] prüfen，[用手指]检查水的温度（不涉及研究层面）
4. 表示考试

testen
严格来说不表示“检查”，仅表示测试，比如ein Medikament auf Nebenwirkungen testen试验一种药的副作用。
检查机械设备一般用prüfen，多次检查用untersuchen或者überprüfen。
还有个kontrollieren也有检查的意思，类似于überprüfen，但仅限于检查旅客、行李、证件、护照。

祝学习愉快！