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that指代的是give patients sufficient mediation to control their pain这件事
本句中出现that引导的两个定语从句：that the principle will shield doctors，that they could not give patients sufficient mediation to control their pain，以及who 引导的定语从句who until now have very, very strongly insisted。翻译时定语从句可以独立成句。注意Mediation的语境意思是“镇痛剂”，本意是“调停，调和”。
参考译文：蒙特非奥里医疗中心主任南希·都博勒认为，这项原则将消除部分医生的疑虑，这些医生在此之前一直强烈地认为，如果给病人充分的药品来止痛会加速他们的死亡的话，那就不能这样做。