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同学你好
「なくて」与「ないで」的区别：

（一）只能用「ないで」的情况
1．「ないで」是「ないでくれ」之类的省略的时候，也就是表示说话人主观的意志、命令、要求、希望之类含义的时候。比如：
　　①本を見ないで答えてください。
　　②お前、一日でもいいから、タバコを吸わないでみろよ。
　　③心配しないで、やってくれ。
　　④彼には何も聞かないでもらいたい。
2．表示附带状况，此时前后文主体必须相同。比如：
　　⑤雨が降っているのに、田中さんは傘もささないで歩いている。
　　⑥彼は誰にも一言も言わないで出発した。
　　⑦川の水は音も立てないで流れている。
3．与「ないのに」的用法相同的时候，比如：
　　⑧よく知らないで、知ったような顔をしている。
　　⑨ろくに勉強もしないで、優等生になった。

（二）只能用「なくて」的情况
1．描写客观状态，比如：
　　①島村は汽車のなかのぬくみが冷めなくて、外のほんとうの寒さはまだ感じなかったけれども、雪国の冬は初めてだから、土地の人の出で立ちにまずおびやかされた。
　　②彼女がここにいなくて、さびしい。
　　③曹氏一族の荷物は、中庭は勿論，それに面した廻廊を埋め、それで足りなくて別棟の向こうの館をも埋めている。
2．补助形容词「ない」的连用形加上助词「て」，前文已经说了，这种情况只能接在形容词、形容动词、助动词「だ」的连用形后面。比如：
　　④教室は静かではなくて、にぎやかだ。
　　⑤デザインがよくなくて、不人気の商品だ。
　　⑥問題は田中君にあるのではなくて、宮本君にある。

两者都可以互换的情况：
「ないで」与「なくて」在一定的条件下可以互换使用。这种情况的「なくて」肯定是否定助动词「ない」的连用形加上助词「て」构成的。也就是接动词及动词型助动词的情况。
（一）表示并列、对比关系
「ないで」与「なくて」都可以表示并列、对比关系。只是「ないで」将说明的重点放在前项，而「なくて」侧重于说明前项与后项的对立关系。比如：
　　①母親は来ないで（なくて）父親は来た。
　　②東京へ行かなくて（ないで）大阪へ行った。
　　①如果用「ないで」的话，强调的是“妈妈没来”这个事实。用「なくて」的话，便将“爸爸来了”与“妈妈没来”这两个事情对比起来进行说明。

（二）补助形容词「いい」的前面
在补助形容词「いい」的前，两者都可以使用，平常一般用「～なくてもいい」，比如：
　　①親の言うことでも、正しくないと思えば従わなくて（ないで）もよい。
　　②職名の場合は、「さん」をつけないでも（なくても）いい。

（三）接可能动词的时候，比如：
①芝居がはっきり見えないで（見えなくて） 、途中から帰ってきた。
　　②どうすることもできないで（できなくて）困っている。
　　③せっかく行ったのに、誰にも会えないで（会えなくて）残念だった。

（四）补助动词「～すむ」前，比如：
①漢方医学によって治療法では、この患者は手術しないで（なくて） すむ。
　　②冬になると、外套を着ないでも（なくても） すむものなら、ぼくは外套を着ないだろう。

（五）表示原因和理由
如前文所述，「ないで」与「なくて」都可以表示原因和理由。当后句是直接表示主体主观的想法、情绪的时候，两者都可以使用。只不过，当后句是对客观状态进行叙述，并且与主体的心情没有直接联系的时候时，一般使用「なくて」，比如：
①私も何だか結論が出ないで（○なくて）困っている。
　　②きれいにできないで（○できなくて）、恥ずかしい。
　　③先生が出席しなくて、クラス会がお流れになった。

同学给出的题目句子中可以认为是种客观状态，用なくて
这两个区别比较复杂的，这里还有个资料，同学可以看下哦
https://jp.hjenglish.com/new/p1407/
可以点追问
祝学习愉快