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同学你好
【して】 就是【する】的て形，这里整句话的意思是：休息日做这些事情（看电视啦、买东西啦）来度过。其中~~て提示方式手段。~~して：通过做什么什么

休日はテレビを見るとか、買い物をするとか   して  過ごすことが多いです。
这里的【とか…とか…】就是表示举例并列的用法。

テレビを見るとか、買い物をするとか这两个动宾短语后面加上【とか】，有一种被名词化的意味，即“看看电视，买买东西”。后面接动词【過ごす】，前面就要用连用形，就用一个表示动作的动词【する】的连用形【して】来连接~
译为：“通过做~~做~~而度过的。”
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