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同学你好~
to the post office是宾语补足语。
while taking his savings to the post office是时间状语从句，是while he was taking his savings to the post office的省略形式。

为了简洁起见，有的状语从句(如时间状语从句、条件状语从句、方式状语从句等)有时可省略从句的主语和部分谓语(尤其是当从句主语与主句主语一致，且从句谓语包括有动词be时)：
She fell asleep while (he was) doing his homework. 他在做作业时睡着了。
While (he was) doing so, he trembled a little. 他这样做时稍稍颤抖了一下。

祝同学学习进步~