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同学你好
这里是的to keep fit是不定式做后置定语，用来修饰前面的名词way，带有表示目的的意思。
其他不定式作定语例句：
You are the only person to be late.你是唯一迟到的人。
The manager is the last to come to the meeting.经理是最后一个来开会的。
Do you have anything to say?你有什么要说的吗？
There is nothing to worry about.没什么好担心的。
The letter to be written is to my father. 写的信是给我父亲的。

Climbing mountain is a good way that could keep fit 这句话从语法规则上来看，是没有错的，但是日常中不会这么用，因为way to do sth已经成为了习惯搭配，表示“做...的方式”

祝学习愉快~