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同学好
此处是“with+宾语+宾语补足语”复合结构, 该结构在句中主要用作状语, 表示伴随、原因、时间、条件、方式等；其中宾语补足语可以是名词、形容词、副词、现在分词、过去分词、不定式、介词短语等；
“with the Cold War and the Soviet threat a distant memory”中，with 的宾语是“the Cold War and the
Soviet threat”，宾语补足语是名词短语“a distant memory”，补充说明宾语冷战和苏联威胁已成为遥远的回忆；
希望对同学有帮助～