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同学好：
that she could stay with us 可以理解为间接引语，认为是I said to her, ‘You can stay with us.’ 经过转述而来的。
间接引语属于宾语从句的范畴；上一个回答里，助助有说明that ... us 是宾语从句，即出于此。再具体划分，说这个结构在整个句子里担任什么成分，那么它是直接宾语【出于 tell sb. sth.】。

综上，这个结构认为是间接引语正确，是直接宾语也是正确的。只是从不同的角度来解释的结果。

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