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同学你好~
这里应该选择was和be operated on

insist表“坚持要求”时，宾语从句中用 虚拟语气 (should) + 动词原形；insist表 “坚持说”时，用陈述语气。
She insisted that the wounded soldier (should) lie down for a while.
她坚持要求那位受伤的士兵躺一会儿。
He insisted that he didn't steal my wallet. 他坚持说他没有偷我的钱包。

第一个空，医生们是坚持说他受伤严重的，应该用陈述语气。
第二个空，让他立刻动手术，这是一种要求，后面应该用虚拟语气，should be operated on，should可以省略。

operate表示“动手术”，是不及物动词，必须加on，比如
In March 2005, surgeons operated on Max for a brain aneurysm.
2005年3月，外科医生们为马克斯做了脑部动脉瘤手术。

祝同学学习进步~