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同学你好，这是 由 with 构成的独立主格结构, 这里用to do 表“动作尚未发生或看上去尚未发生”
而用doing 表示“动作正在进行”；这里是 with little work_____ them，little表否定，即“几乎没有”“一点点而少到几乎没有”，没有工作占用着士兵们，所以动作意指“尚未发生”，用to occupy；而不是说“工作正在占用着他们”要留心little 的否定含义；
句意：Having been isolated on a remote island, //with little work to occupy them, //the soldiers/ suffered from/ boredom and low spirits.被隔离在一个偏僻的小岛上//，几乎没有什么工作来占用他们，//士兵们/遭受着/厌倦和情绪低落。
扩展一下：
“with + 独立主格（逻辑主语）+ 不定式” 表示 “逻辑主语要如何的情况下，要去做动作但还未发生”,如：
例句：With my friend to help me, I am sure to have the job finished on time. 在朋友的帮助下,我一定能按时完成任务.
“with + 独立主格（逻辑主语）+ 过去分词” 表示 “逻辑主语在被如何的情况下 ”或者 “伴随着逻辑主语在被如何了”,如：
例句：With the jobfinished, I could be light-hearted and prepared to enjoy life. 工作已经做完了,我可以无忧无虑地准备享受生活.
“with + 独立主格（逻辑主语）+ 现在分词” 表示 “逻辑主语正如何的情况下” 或者 “伴随着逻辑主语正如何着”
例句：The front door closed with a student coming in behind the teacher. 随着一个学生跟着老师进来前门就关上了.

给同学参考，祝你学习愉快！