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同学你好，

第一个问题，第二句的主语是trabajos，不是我。
第二个问题，句子中的haciendo是修饰empezar的副动词，表示方式，在这里的意思是我开始做。如果在副动词前加estar，表示正在做某事。比如，Estoy leyendo el libro，意思是我正在阅读。表达经常做某事可以在句子中加入表示频率的副词，比如siempre。Yo siempre leo el libro。这句话的意思是我经常阅读。
第三个问题，你的理解是正确的。这里ha gustado的主语是el trabajo。所以haber的变位是陈述式第三人称ha，而不是he。

希望回答可以帮到你，祝学习进步～