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同学，你好！

did  助动词，表示“确实，的确”，起加强语气作用。如果不加的话，get要变为got，语气就没有这么强烈了。
get to stay 是get to do 这个形式，get to do 可以表示“开始做某事”“逐渐...成为/变为”“有机会做某事或被许可做某事”“努力或设法做成某事”。因为同学没有给这句话的上下文语境或文章出处，所以助助没有办法准确的翻译出get to stay 在这句话的意思，这里“逐渐...成为/变为”这个意思不适用，其他几个意思都可以。

希望助助的解答可以帮助到同学，祝同学学习进步~~