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同学你好~
ており是ておる的中顿形式，
ていて是ている的中顿形式、但是我们平时不常用这个中顿形式，而是用ており来表示ている的中顿，这样写比较正式，显得郑重。

ておく是另一个句型，与前面的ており、ていて没有关系。
【~ておく】原则上接于意志性的他动词后（即动词准备态）
⑴表示采取某种行为，并使其结果的状态持续下去。
例句：
①電気は消さないで、朝までつけておこう。/电灯不要关，一直开到早晨吧。
②帰るとき、窓を開けておいてください。/临回去时，请把窗户开着吧。
③ほかの人に話さないでおいてください。/请不要对别人说。

⑵根据语境，有时可以表示事先做好某种准备。
例句：
④日本へ行く前に日本語を習っておくつもりだ。/我打算去日本之前，先学好日语。
⑤よし子が遅れてきてもわかるように、伝言板に地図を書いておいた。/为了让佳子即使来晚了也能明白，我在留言板上给她画了一个地图。
⑥予め発言の原稿を書いておきます。/提前写好发言稿。

⑶根据语境，有时也可以表示临时的应急措施。
例句：
⑦その場で一応の手当てをしておいて、病院へ連れていった。/在现场简单处置了一下，就领到医院去了。
⑧使わない本は、当分の間本箱の中に入れておく。/不用的书，暂时先放到书箱里。
⑨その書類はあとで見ますから、そこに置いておいてください。/那个材料一会儿我要看，你就把它放那儿吧。

⑷表示放任不管。接在动词使役态之后时，均表示这个意思。由于自动词变成使役态后就具有他动词的性质，因此这一用法可用于自动词。
例句：
①帰りたいものは帰らせておけばいいじゃない？/想回去的，让他回去不就得了吗？
②それはしかたがない。そのままにしておこう。/那可没办法。就那么着吧。
③近くにいさせておこう。/就让他在附近吧。
希望以上解答可以帮到同学，如果对助助在本题中的回复有疑问，请同学在【追问】框中提出。
祝同学在网校学习愉快(′～`●)