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这两个词在表示【试验、尝试】等意思时是可以通用的。
例如：機械がうまく動くかどうか、もう一度試みる（試す）。

【試みる】 一段动词，侧重于不管结果如何，总之要尝试一下。
例如：勧められた薬を試みる。／试服别人介绍的药。

【試す】 五段动词，侧重于为了了解某个对象的性能或状况而进行一种测试。
例如：耐久性を試す。性能を試す。機械を試す。 恋人の心を試す。能力を試す／考验一下能力。

下面参考辞典里的解释：

ため・す  【試す】 他动词
(1)尝试：実際にやってみて、力の程度・真偽などを調べ確かめる。試みる。

「実力のほどを―・す」「性能を―・す」
(2)试验武器的性能：実際に使ってみて、刀剣など武具の強さを調べる。
「且は鎧の金をも―・し/保元（中）」
［可能］ ためせる

こころ・みる 【試みる】 他动词
(1)尝试：どんな結果になるか、ためしにやってみる。また、効果・効力などを実地にためしてみる。
例文
「冬期の単独登頂を―・みる」
「今一度の抵抗を―・みる」
(2)试吃，品尝：試食・試飯する。
「此の飯と今の供養の飯と逆に―・み合すべしと/今昔 4」

从字典中的解释来看，两者表示“尝试”的意思很相近。
但在会話中，常使用「試してみてください」；
而「試みてください」是文章中使用的比较生硬的说法。

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