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∫ dx/(2 + cosx)

= ∫ dx/[2sin²(x/2) + 2cos²(x/2) + cos²(x/2) - sin²(x/2)]

= ∫ dx/[3cos²(x/2) + sin²(x/2)]

= 2∫ sec²(x/2)/[3 + tan²(x/2)] d(x/2)

= 2∫ d[tan(x/2)]/[3 + tan²(x/2)]

= 2 * 1/√3 * arctan[tan(x/2)/√3] + C

= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C