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同学好，
第一题：deal与with搭配为固定短语，表示：处理; 应付; 与…打交道；contact作名词时可与with搭配，后接sb.，但它做动词时可直接接sb，无需介词。这里需要的是动词，所以不用contact。handle在表示处理，应付（局势、人、工作或感情） 时，后可直接接sb.，也不用于with搭配。
如：She's very good at handling her patients. 她对待病人很有办法。
如果非要加with,必须是：handle...with...,意思是“用/以...处理...”.
如：Can you handle this situation with patience?
所以这里deal with为最佳答案。
第二题：这里的promote意为：提倡，符合本句句意即这本书提倡所有的工作关系都可以而且应该被管理。
convince意为：使确信；使相信；使信服，它通常有两种用法即convince sb/yourself (of sth)
如：You'll need to convince them of your enthusiasm for the job. 你要使他们相信你殷切希望得到这份工作。
另一种为convince sb. +从句
如： I'd convinced myself (that) I was right. 我确信自己是正确的。
这里如果用convince，按照句意来说应该有sb.的存在，表示使....确信这个idea。所以promotes更为合适。
祝学习愉快~