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同学你好。
这里的-게 하다并不是一个整体，需要拆分理解的。
행복하게这里是행복하다+게构成的副词形式，表示幸福地；
再比如常见的 : 재미있게, 깨끗하게都是属于副词形式的；
然后해 주다是하다+여 주다构成的。
这里的하다意译理解为过得的意思；
-여 주다表示给某人做某事，-ㄹ게요表示第一人称话者的意志打算。
하다+여 주다构成해 주다的表达。
행복하게 해주지 못하다. 理解为不能让人过得幸福。
再比如：저하고 결혼하면 행복하게 해 줄게요.  和我结婚的话，会让你过得幸福的。
同学可以再梳理一下，祝同学学习愉快。