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同学你好~
Then the woman simply took the parcel and walked out of the shop without paying.
然后，那妇女拿过包就走出了商场，根本没有付钱。
simply表示“仅仅”、“只”，有加强语气的作用。连词and表示动作的连续，相当于 and then。withoug paying可以当成是整个句子的方式状语，即那妇女没有，……就……
paying为动名词。

When she was arrested, the detective found out that the shop assistant was her daughter.
find out 发现，查明
I want you to do everything you can to find out who's responsible.
我希望你能尽一切可能找出责任人。

The girl 'gave' her mother a free dress once a week!
gave加引号，表示姑娘不是真正给，而是偷。
free在这里的含义为“免费的”、“不要钱的”：
Children under five years old travel free. 5岁以下儿童免费旅行。
“once a+ 表示时间的名词”可以表示频率
He comes to the office once a day. 他每天来办公室一次。

祝同学学习进步~