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同学你好~
在一般现在时中，谓语是实意动词，在否定句和疑问句中要插入助动词do
所以这里可以说 I don't have any eggs.

have got是一个特殊的词组，意思和have是一样的，have got中的have相当于助动词，可以直接加not。
因此可以说I haven't got any eggs.

have表示“有”，可以直接加not否定，这是一个非常特殊的情况，但是很少用，一般在英式英语中才会出现，有的人可能会觉得比较别扭。
I haven't any eggs. 也是正确的说法。

祝同学学习进步~