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同学你好~
after是介词。

介词后面要加名词或者相当于名词的形式，因此介词后的动词要用动名词形式，让其相当于一个名词，比如

I deeply appreciate your kindness in coming so far to meet me.
有劳远迎。

Okay, so are we agreed on going north?
好，那么我们已经一致同意向北走了？

因此这里用了fall的动名词形式falling

动名词起名词的做用，在句中可作：
1)主语：
Smoking is prohibited．
禁止吸烟。

2)表语：
My favorite sport is skating．
我最喜炊的运动是滑冰。

3)宾语或介词宾语：
I suggested going by boat．
我建议坐船去。
They insisted on going by plane．
他们坚持坐飞机去。

4)定语：
Give me my shopping bag．
把购物袋给我。
This is your boarding pass．
这是你的登机证。

在很多情况下可以构成合成词：
singing competition 歌咏比赛
swimming pool 游泳池
opening speech 开幕词
dining-car 餐车
waiting-room 候车室

也可以看这里
http://www.hjenglish.com/new/p165380/

祝同学学习进步~