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同学好，
第一句：-- What color's Mrs. White's carpet？-- Her carpet's red.  同学的回答是没有问题的。
Her carpet's这里的's是is的缩写，同学可以翻译一下句子，就能知道是什么的简写了。比如这一句，“她的地毯是红色的。”肯定不是“她的地毯的红色”对吧，所以是系动词be，也就是is的缩写。

第二句，特指“这个黑色的箱子”，可能是说话者眼前的这个，也可能是说话双方都知道的那个箱子，是特指的，不是别的，这时候也用the。比如：the small house in the garden，花园里的小房子。

祝学习愉快~~