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同学你好。
1. 잤어요? 使用过去时，表示已经睡了吗？睡过了吗？这么一个意思。
日常生活中，询问对方睡了吗？其实是问的现在的一个状态，用자요? 表达更合适。

2. 자려구요. 这里标准韩语表达是자려고요.
려고요是려고 해요的缩写形式，-(으)려고 하다 表示想做某事，比如：
학교에 가려고요.   打算去学校
밥을 좀 먹으려고요.   想吃点饭。
진통제를 좀 사려고요. 想买点儿止痛药。
然后韩国人口语中也经常把고发音成구，所以截图这里是자려구요.
이제 자려구요. 现在打算要睡了。
祝同学学习愉快。